2021年广东省高考数学试卷〔理科〕 2021年广东省高考数学试卷〔理科〕
一、选择题：本大题共8小题,每题5分,总分值40分,在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的． 1．〔5分〕〔2021•广东〕设集合M={x|x2+2x=0,x∈R},N={x|x2﹣2x=0,x∈R},那么M∪N=〔 〕 A． {0} B． {0,2} C． {﹣2,0} D． {﹣2,0,2} 2．〔5分〕〔2021•广东〕定义域为R的四个函数y=x3,y=2x,y=x2+1,y=2sinx中,奇函数的个数是〔 〕 A． 4 B． 3 C． 2 D． 1 3．〔5分〕〔2021•广东〕假设复数z满足iz=2+4i,那么在复平面内,z对应的点的坐标是〔 〕 A． 〔2,4〕 B． 〔2,﹣4〕 C． 〔4,﹣2〕 D． 〔4,2〕 4．〔5分〕〔2021•广东〕离散型随机变量X的分布列为 X 1 2 3 P
那么X的数学期望E〔X〕=〔 〕
A． B． 2
C．
D． 3
5．〔5分〕〔2021•广东〕某四棱台的三视图如下图,那么该四棱台的体积是〔 〕
A． 4 B． C． D． 6
6．〔5分〕〔2021•广东〕设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,以下命题中正确的选项是〔 〕
A． 假设α⊥β,m⊂α,n⊂β,那么m⊥n B． 假设α∥β,m⊂α,n⊂β,那么m∥n C． 假设m⊥n,m⊂α,n⊂β,那么α⊥β D． 假设m⊥α,m∥n,n∥β,那么α⊥β 7．〔5分〕〔2021•广东〕中心在原点的双曲线C的右焦点为F〔3,0〕,离心率等于,那么C的方程是〔 〕 A．
B．
C．
D．
8．〔5分〕〔2021•广东〕设整数n≥4,集合X={1,2,3,…,n}．令集合S={〔x,y,z〕|x,y,z∈X,且三条件x＜y＜z,y＜z＜x,z＜x＜y恰有一个成立}．假设〔x,y,z〕和〔z,w,x〕都在S中,那么以下选项正确的选项是〔 〕 A． 〔y,z,w〕∈S,〔x,y,w〕∉S B． 〔y,z,w〕∈S,〔x,y,w〕∈S C． 〔y,z,w〕∉S,〔x,y,w〕∈S D． 〔y,z,w〕∉S,〔x,y,w〕∉S 二、填空题：本大题共7小题,考生作答6小题,每题5分,总分值30分．
9．〔5分〕〔2021•广东〕不等式x2+x﹣2＜0的解集为 _________ ． 10．〔5分〕〔2021•广东〕假设曲线y=kx+lnx在点〔1,k〕处的切线平行于x轴,那么k= _________ ． 11．〔5分〕〔2021•广东〕执行如下图的程序框图,假设输入n的值为4,那么输出s的值为 _________ ． 12．〔5分〕〔2021•广东〕在等差数列{an}中,a3+a8=10,那么3a5+a7= _________ ． 13．〔5分〕〔2021•广东〕给定区域D：
．令点集T={〔x0,y0〕∈D|x0,y0∈Z,〔x0,y0〕是z=x+y在D上取
得最大值或最小值的点},那么T中的点共确定 _________ 条不同的直线． 14．〔5分〕〔2021•广东〕〔坐标系与参数方程选做题〕
曲线C的参数方程为〔t为参数〕,C在点〔1,1〕处的切线为l,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴
建立极坐标系,那么l的极坐标方程为 _________ ． 15．〔2021•广东〕〔几何证明选讲选做题〕
如图,AB是圆O的直径,点C在圆O上,延长BC到D使BC=CD,过C作圆O的切线交AD于E．假设AB=6,ED=2,那么BC= _________ ．
三、解答题：本大题共6小题,总分值80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．〔12分〕〔2021•广东〕函数〔1〕求〔2〕假设
,的值；
,求
． ,x∈R．
17．〔12分〕〔2021•广东〕某车间共有12名工人,随机抽取6名,他们某日加工零件个数的茎叶图如下图,其中茎为十位数,叶为个位数．
〔1〕根据茎叶图计算样本均值；
〔2〕日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人．根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人？ 〔3〕从该车间12名工人中,任取2人,求恰有1名优秀工人的概率． 18．〔14分〕〔2021•广东〕如图1,在等腰直角三角形ABC中,∠A=90°,BC=6,D,E分别是AC,AB上的点,,O为BC的中点．将△ADE沿DE折起,得到如图2所示的四棱椎A′﹣BCDE,其中A′O=． 〔1〕证明：A′O⊥平面BCDE；
〔2〕求二面角A′﹣CD﹣B的平面角的余弦
值．
19．〔14分〕〔2021•广东〕设数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,〔1〕求a2的值；
〔2〕求数列{an}的通项公式； 〔3〕证明：对一切正整数n,有
．
,n∈N*．
20．〔14分〕〔2021•广东〕抛物线C的顶点为原点,其焦点F〔0,c〕〔c＞0〕到直线l：x﹣y﹣2=0的距离为为直线l上的点,过点P作抛物线C的两条切线PA,PB,其中A,B为切点． 〔1〕求抛物线C的方程；
〔2〕当点P〔x0,y0〕为直线l上的定点时,求直线AB的方程； 〔3〕当点P在直线l上移动时,求|AF|•|BF|的最小值． 21．〔14分〕〔2021•广东〕设函数f〔x〕=〔x﹣1〕ex﹣kx2〔k∈R〕． 〔1〕当k=1时,求函数f〔x〕的单调区间； 〔2〕当
时,求函数f〔x〕在[0,k]上的最大值M．
,设P
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2021年广东省高考数学试卷〔理科〕
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共8小题,每题5分,总分值40分,在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的． 1．〔5分〕〔2021•广东〕设集合M={x|x2+2x=0,x∈R},N={x|x2﹣2x=0,x∈R},那么M∪N=〔 〕 A． {0} B． {0,2} C． {﹣D． {﹣
2,0} 2,0,2}
考并集与其运算． 点：
专计算题． 题：
分根据题意,分析可得,M={0,﹣2},N={0,2},进而求其并集可得答案． 析：
解解：分析可得, 答：M 为方程x2+2x=0的解集,那么M={x|x2+2x=0}={0,﹣2},
N为方程x2﹣2x=0的解集,那么N={x|x2﹣2x=0}={0,2}, 故集合M∪N={0,﹣2,2}, 应选D．
点此题考查集合的并集运算,首先分析集合的元素,可得集合的意义,再求集合的并集． 评： 2．〔5分〕〔2021•广东〕定义域为R的四个函数y=x3,y=2x,y=x2+1,y=2sinx中,奇函数的个数是〔 〕 A． 4 B． 3 C． 2D ． 1 考点：函数奇偶性的判断． 专题：函数的性质与应用． 分析：根据函数奇偶性的定义与图象特征逐一盘点即可． 解答： 解：y=x3的定义域为R,关于原点对称,且〔﹣x〕3=﹣x3,所以函数y=x3为奇函数；
y=2x的图象过点〔0,1〕,既不关于原点对称,也不关于y轴对称,为非奇非偶函数； y=x2+1的图象过点〔0,1〕关于y轴对称,为偶函数；
y=2sinx的定义域为R,关于原点对称,且2sin〔﹣x〕=﹣2sinx,所以y=2sinx为奇函数； 所以奇函数的个数为2, 应选C． 点评：此题考查函数奇偶性的判断,属根底题,定义是解决该类题目的根本方法,要熟练掌握． 3．〔5分〕〔2021•广东〕假设复数z满足iz=2+4i,那么在复平面内,z对应的点的坐标是〔 〕 A． 〔2,4〕 B． 〔2,C． 〔4,D． 〔4,2〕
﹣﹣4〕 2〕
考复数代数形式的乘除运算． 点：
专计算题． 题： 分
由题意可得z=,再利用两个复数代数形式的乘除法法那么化为 4﹣2i,从而求得z对析：
应的点的坐标． 解
解：复数z满足iz=2+4i,那么有z===4﹣2i, 答：
故在复平面内,z对应的点的坐标是〔4,﹣2〕, 应选C．
点此题主要考查两个复数代数形式的乘除法,虚数单位i的幂运算性质,复数与复平面内对
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评： 应点之间的关系,属于根底题． 4．〔5分〕〔2021•广东〕离散型随机变量X的分布列为 X 1 2 3 P
那么X的数学期望E〔X〕=〔 〕
A． B．
考离散型随机变量的期望与方差． 点：
专概率与统计． 题：
分利用数学期望的计算公式即可得出． 析： 解
解：由数学期望的计算公式即可得出：E〔X〕==． 答：
应选A．
点熟练掌握数学期望的计算公式是解题的关键． 评： 5．〔5分〕〔2021•广东〕某四棱台的三视图如下图,那么该四棱台的体积是〔 〕 A． 4 B．
考棱柱、棱锥、棱台的体积． 点：
专计算题． 题：
分由题意直接利用三视图的数据求解棱台的体积即可． 析：
解解：几何体是四棱台,下底面是边长为2的正方形,上底面是边长为1的正方形,棱台的高为2, 答：并且棱台的两个侧面与底面垂直 ,
四楼台的体积为V=
=
．
2 C． D． 3
C． D． 6
应选B．
点此题考查三视图与几何体的关系,棱台体积公式的应用,考查计算能力与空间想象能力． 评： 6．〔5分〕〔2021•广东〕设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,以下命题中正确的选项是〔 〕 A． 假设α⊥β,m⊂α,n⊂β,那么m⊥n B． 假设
α∥β,m⊂α,n⊂β,那么m∥n
C． 假设m⊥n,m⊂α,n⊂β,那么α⊥β D． 假设
m⊥α,m∥n,n∥β,那么α⊥β
考命题的真假判断与应用；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系． 点：
专空间位置关系与距离． 题：
分由α⊥β,m⊂α,n⊂β,可推得m⊥n,m∥n,或m,n异面；由α∥β,m⊂α,n⊂β,可得m∥n,或m,n异面；由析：m ⊥n,m⊂α,n⊂β,可得α与β可能相交或平行；由m⊥α,m∥n,那么n⊥α,再由n∥β可得α⊥β． 解解：选项A,假设α⊥β,m⊂α,n⊂β,那么可能m⊥n,m∥n,或m,n异面,故A错误；
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答： 选项B,假设α∥β,m⊂α,n⊂β,那么m∥n,或m,n异面,故B错误；
选项C,假设m⊥n,m⊂α,n⊂β,那么α与β可能相交,也可能平行,故C错误； 选项D,假设m⊥α,m∥n,那么n⊥α,再由n∥β可得α⊥β,故D正确． 应选D
点此题考查命题真假的判断与应用,涉与空间中直线与平面的位置关系,属根底题． 评：
7．〔5分〕〔2021•广东〕中心在原点的双曲线C的右焦点为F〔3,0〕,离心率等于,那么C的方程是〔 〕 A．
B．
C．
D．
考双曲线的标准方程． 点：
专压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 题： 分
设出双曲线方程,利用双曲线的右焦点为F〔3,0〕,离心率为 ,建立析：
方程组,可求双曲线的几何量,从而可得双曲线的方程． 解
〔a＞0,b＞0〕,那么 答：解 ：设双曲线方程为
∵双曲线C的右焦点为F〔3,0〕,离心率等于 , ∴
,∴c=3,a=2,∴b2=c2﹣a2=5
∴双曲线方程为 ．
应选B．
点此题考查双曲线的方程与几何性质,考查学生的计算能力,属于根底评：题． 8．〔5分〕〔2021•广东〕设整数n≥4,集合X={1,2,3,…,n}．令集合S={〔x,y,z〕|x,y,z∈X,且三条件x＜y＜z,y＜z＜x,z＜x＜y恰有一个成立}．假设〔x,y,z〕和〔z,w,x〕都在S中,那么以下选项正确的选项是〔 〕 A． 〔y,z,w〕B． 〔y,z,w〕C． 〔y,z,w〕D． 〔y,z,w〕
∈S,∈S,∉S,∉S,〔x,y,w〕〔x,y,w〕〔x,y,w〕〔x,y,w〕∉S ∈S ∈S ∉S 考进行简单的合情推理． 点：
专证明题；压轴题． 题：
分特殊值排除法,取x=1,y=2,z=4,w=3,可排除错误选项,即得答案． 析：
解解：特殊值排除法, 答：取 x=1,y=2,z=4,w=3,显然满足〔x,y,z〕和〔z,w,x〕都在S中,
此时〔y,z,w〕=〔2,4,3〕∈S,〔x,y,w〕=〔1,2,3〕∈S,故A、C、D均错误； 只有B成立,应选B
点此题考查简单的合情推理,特殊值验证法是解决问题的关键,属根底题．
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评：
二、填空题：本大题共7小题,考生作答6小题,每题5分,总分值30分．
9．〔5分〕〔2021•广东〕不等式x2+x﹣2＜0的解集为 〔﹣2,1〕 ． 考点： 一元二次不等式的解法． 专题： 不等式的解法与应用．
分析： 先求相应二次方程x2+x﹣2=0的两根,根据二次函数y=x2+x﹣2的图象即可写出不等式的解集． 解答： 解：方程x2+x﹣2=0的两根为﹣2,1,
且函数y=x2+x﹣2的图象开口向上,
所以不等式x2+x﹣2＜0的解集为〔﹣2,1〕． 故答案为：〔﹣2,1〕．
点评： 此题考查一元二次不等式的解法,属根底题,深刻理解\"三个二次〞间的关系是解决该类题目的关键,解二次不
等式的根本步骤是：求二次方程的根；作出草图；据图象写出解集． 10．〔5分〕〔2021•广东〕假设曲线y=kx+lnx在点〔1,k〕处的切线平行于x轴,那么k= ﹣1 ． 考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程． 专题： 导数的综合应用．
分析： 先求出函数的导数,再由题意知在1处的导数值为0,列出方程求出k的值． 解答：
解：由题意得,y′=k+, ∵在点〔1,k〕处的切线平行于x轴, ∴k+1=0,得k=﹣1, 故答案为：﹣1．
点评： 此题考查了函数导数的几何意义应用,难度不大． 11．〔5分〕〔2021•广东〕执行如下图的程序框图,假设输入n的值为4,那么输出s的值为 7 ． 考点： 程序框图． 专题： 图表型．
分析： 由中的程序框图与中输入4,可得：进入循环的条件为i≤4,即i=1,2,3,4．模拟程序的运行结果,即可得到输出
的S值．
解答： 解：当i=1时,S=1+1﹣1=1；
当i=2时,S=1+2﹣1=2； 当i=3时,S=2+3﹣1=4； 当i=4时,S=4+4﹣1=7；
当i=5时,退出循环,输出S=7； 故答案为：7．
点评： 此题考查的知识点是程序框图,在写程序的运行结果时,我们常使用模拟循环的变法,但程序的循环体中变量
比拟多时,要用表格法对数据进行管理． 12．〔5分〕〔2021•广东〕在等差数列{an}中,a3+a8=10,那么3a5+a7= 20 ． 考点： 等差数列的通项公式．
专题： 计算题；等差数列与等比数列．
分析： 根据等差数列性质可得：3a5+a7=2〔a5+a6〕=2〔a3+a8〕． 解答： 解：由等差数列的性质得：
3a5+a7=2a5+〔a5+a7〕=2a5+〔2a6〕=2〔a5+a6〕=2〔a3+a8〕=20, 故答案为：20．
点评： 此题考查等差数列的性质与其应用,属根底题,准确理解有关性质是解决问题的根本． 13．〔5分〕〔2021•广东〕给定区域D：
．令点集T={〔x0,y0〕∈D|x0,y0∈Z,〔x0,y0〕是z=x+y在D上取
得最大值或最小值的点},那么T中的点共确定 6 条不同的直线． 考点： 简单线性规划的应用． 专题： 不等式的解法与应用．
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分析： 先根据所给的可行域,利用几何意义求最值,z=x+y表示直线在y轴上的截距,只需求出可行域直线在y轴上的
截距最值即可,从而得出点集T中元素的个数,即可得出正确答案．
解答： 解：画出不等式表示的平面区域,如图．
作出目标函数对应的直线,因为直线z=x+y与直线x+y=4平行,故直线z=x+y过直线x+y=4上的整数点：〔4,0〕,〔3,1〕,〔2,2〕,〔1,3〕或〔0,4〕时,直线的纵截距最大,z最大；
当直线过〔0,1〕时,直线的纵截距最小,z最小,从而点集T={〔4,0〕,〔3,1〕,〔2,2〕,〔1,3〕,〔0,4〕,〔0,1〕},经过这六个点的直线一共有6条． 即T中的点共确定6条不同的直线． 故答案为：6．
点评： 此题主要考查了简单的线性规划,以与利用几何意义求最值,属于根底题． 14．〔5分〕〔2021•广东〕〔坐标系与参数方程选做题〕 曲线C的参数方程为
〔t为参数〕,C在点〔1,1〕处的切线为l,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴
建立极坐标系,那么l的极坐标方程为 ρcosθ+ρsinθ﹣2=0〔填或也
得总分值〕 ．
考点： 参数方程化成普通方程；点的极坐标和直角坐标的互化． 专题： 压轴题．
分析： 先求出曲线C的普通方程,再利用直线与圆相切求出切线的方程,最后利用x=ρcosθ,y=ρsinθ代换求得其极坐
标方程即可．
解答：
解：由〔t为参数〕,两式平方后相加得x2+y2=2,…〔4分〕
∴曲线C是以〔0,0〕为圆心,半径等于的圆． C在点〔1,1〕处的切线l的方程为x+y=2, 令x=ρcosθ,y=ρsinθ,
代入x+y=2,并整理得ρcosθ+ρsinθ﹣2=0,即那么l的极坐标方程为 ρcosθ+ρsinθ﹣2=0〔填值〕． …〔10分〕
故答案为：ρcosθ+ρsinθ﹣2=0〔填
或
也得总分值〕．
或
或
,
也得总分
点评： 此题主要考查极坐标方程、参数方程与直角坐标方程的转化．普通方程化为极坐标方程关键是利用公式
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x=ρcosθ,y=ρsinθ． 15．〔2021•广东〕〔几何证明选讲选做题〕
如图,AB是圆O的直径,点C在圆O上,延长BC到D使BC=CD,过C作圆O的切线交AD于E．假设AB=6,ED=2,那么BC=．
考点： 与圆有关的比例线段． 专题： 压轴题；直线与圆．
分析： 利用AB是圆O的直径,可得∠ACB=90°．即AC⊥BD．又BC=CD,可得△ABD是等腰三角形,可得∠D=∠B．再
利用弦切角定理可得∠ACE=∠B,得到∠AEC=∠ACB=90°,进而得到△CED∽△ACB,利用相似三角形的性质即可得出．
解答： 解：∵AB是圆O的直径,∴∠ACB=90°．即AC⊥BD．
又∵BC=CD,∴AB=AD,∴∠D=∠ABC,∠EAC=∠BAC．
∵CE与⊙O相切于点C,∴∠ACE=∠ABC．∴∠AEC=∠ACB=90°． ∴△CED∽△ACB．
∴
,又CD=BC,
∴．
点评： 此题综合考查了圆的性质、弦切角定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质等根底知识,需要较
强的推理能力．
三、解答题：本大题共6小题,总分值80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．〔12分〕〔2021•广东〕函数〔1〕求〔2〕假设
,的值；
,求
． ,x∈R．
考二倍角的正弦；两角和与差的余弦函数． 点：
专三角函数的求值；三角函数的图像与性质． 题： 分
〔1〕把x=﹣直接代入函数解析式求解． 析：
〔2〕先由同角三角函数的根本关系求出sinθ的值以与sin2θ,然后将x=2θ+公式求得结果． 解
解：〔1〕答：
〔2〕因为所以所以
,
代入函数解析式,并利用两角和与差
所以
=
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点此题主要考查了特殊角的三角函数值的求解,考查了和差角公式的运用,属于知识的简单综合,要注意角的范围． 评： 17．〔12分〕〔2021•广东〕某车间共有12名工人,随机抽取6名,他们某日加工零件个数的茎叶图如下图,其中茎为十位数,叶为个位数．
〔1〕根据茎叶图计算样本均值；
〔2〕日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人．根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人？ 〔3〕从该车间12名工人中,任取2人,求恰有1名优秀工人的概率． 考点： 众数、中位数、平均数；茎叶图；古典概型与其概率计算公式． 专题： 概率与统计．
分析： 〔1〕茎叶图中共同的数字是数字的十位,这是解决此题的突破口,根据所给的茎叶图数据,代入平均数公式求
出结果；
〔2〕先由〔1〕求得的平均数,再利用比例关系即可推断该车间12名工人中有几名优秀工人的人数；
〔3〕设\"从该车间12名工人中,任取2人,恰有1名优秀工人〞为事件A,结合组合数利用概率的计算公式即可求解事件A的概率．
解答：
解：〔1〕样本均值为
〔2〕抽取的6名工人中有2名为优秀工人, 所以12名工人中有4名优秀工人
〔3〕设\"从该车间12名工人中,任取2人,恰有1名优秀工人〞为事件A, 所以
,
即恰有1名优秀工人的概率为．
点评： 此题主要考查茎叶图的应用,古典概型与其概率计算公式,属于容易题．对于一组数据,通常要求的是这组数据
的众数,中位数,平均数,题目分别表示一组数据的特征,考查最根本的知识点． 18．〔14分〕〔2021•广东〕如图1,在等腰直角三角形ABC中,∠A=90°,BC=6,D,E分别是AC,AB上的点,,O为BC的中点．将△ADE沿DE折起,得到如图2所示的四棱椎A′﹣BCDE,其中A′O=． 〔1〕证明：A′O⊥平面BCDE；
〔2〕求二面角A′﹣CD﹣B的平面角的余弦
值．
考点： 用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定；二面角的平面角与求法． 专题： 空间位置关系与距离；空间角；空间向量与应用．
分析： 〔1〕连接OD,OE．在等腰直角三角形ABC中,∠B=∠C=45°,,AD=AE=,CO=BO=3．分别在
△COD与△OBE中,利用余弦定理可得OD,OE．利用勾股定理的逆定理可证明∠A′OD=∠A′OE=90°,再利用线面垂直的判定定理即可证明；
〔2〕方法一：过点O作OF⊥CD的延长线于F,连接A′F．利用〔1〕可知：A′O⊥平面BCDE,根据三垂线定理得A′F⊥CD,所以∠A′FO为二面角A′﹣CD﹣B的平面角．在直角△OCF中,求出OF即可；
方法二：取DE中点H,那么OH⊥OB．以O为坐标原点,OH、OB、OA′分别为x、y、z轴建立空间直角坐
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标系．利用两个平面的法向量的夹角即可得到二面角．
解答： 〔1〕证明：连接OD,OE．
因为在等腰直角三角形ABC中,∠B=∠C=45°,在△COD中,
因为,． 所以A′O2+OD2=A′D2,A′O2+OE2=A′E2． 所以∠A′OD=∠A′OE=90°
所以A′O⊥OD,A′O⊥OE,OD∩OE=O． 所以A′O⊥平面BCDE． 〔2〕方法一：
过点O作OF⊥CD的延长线于F,连接A′F 因为A′O⊥平面BCDE．
根据三垂线定理,有A′F⊥CD．
所以∠A′FO为二面角A′﹣CD﹣B的平面角． 在Rt△COF中,在Rt△A′OF中,所以
．
．
．
．
,CO=BO=3． ,同理得
．
所以二面角A′﹣CD﹣B的平面角的余弦值为
方法二：
取DE中点H,那么OH⊥OB．
以O为坐标原点,OH、OB、OA′分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系． 那么O〔0,0,0〕,A′〔0,0,
〕,C〔0,﹣3,0〕,D〔1,﹣2,0〕
,=〔0,0,
〕是平面BCDE的一个法向量．
．
设平面A′CD的法向量为n=〔x,y,z〕
所以所以
,令x=1,那么y=﹣1,．
是平面A′CD的一个法向量
设二面角A′﹣CD﹣B的平面角为θ,且
所以
所以二面角A′﹣CD﹣B的平面角的余弦值为
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点评： 此题综合考查了等腰直角三角形的性质、余弦定理、线面垂直的判定与性质定理、三垂线定哩、二面角、
通过建立空间直角坐标系利用法向量的夹角求二面角等根底知识与方法,需要较强的空间想象能力、推理能力和计算能力． 19．〔14分〕〔2021•广东〕设数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,〔1〕求a2的值；
〔2〕求数列{an}的通项公式； 〔3〕证明：对一切正整数n,有
．
,n∈N*．
考数列与不等式的综合；等差数列与等比数列的综合． 点：
专等差数列与等比数列． 题： 分
〔1〕利用a1=1,,n∈N*．令n=1即可求出； 析：
〔2〕利用an=Sn﹣Sn﹣1〔n≥2〕即可得到nan+1=〔n+1〕an+n〔n+1〕,可化为等差数列的通项公式即可得出； 〔3〕利用〔2〕,通过放缩法解
解：〔1〕当n=1时,答：
〔2〕当n≥2时,①﹣②得
整理得nan+1=〔n+1〕an+n〔n+1〕,即当n=1时,所以数列{所以
}是以1为首项,1为公差的等差数列 ,即
,n∈N*
〔n≥2〕
,
①
②
,解得a2=4
〔n≥2〕即可证明．
,
．再利用
所以数列{an}的通项公式为〔3〕因为所以
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=
点熟练掌握等差数列的定义与通项公式、通项与前n项和的关系an=Sn﹣Sn﹣1〔n≥2〕、裂项求和与其放缩法等是解评：题的关键． 20．〔14分〕〔2021•广东〕抛物线C的顶点为原点,其焦点F〔0,c〕〔c＞0〕到直线l：x﹣y﹣2=0的距离为
,设P
为直线l上的点,过点P作抛物线C的两条切线PA,PB,其中A,B为切点． 〔1〕求抛物线C的方程；
〔2〕当点P〔x0,y0〕为直线l上的定点时,求直线AB的方程； 〔3〕当点P在直线l上移动时,求|AF|•|BF|的最小值．
考抛物线的标准方程；利用导数研究曲线上某点切线方程；抛物线的简单性质． 点：
专压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 题：
分〔1〕利用焦点到直线l：x﹣y﹣2=0的距离建立关于变量c的方程,即可解得c,从而得出抛物线C的方程； 析：
〔2〕先设,,由〔1〕得到抛物线C的方程求导数,得到切线PA,PB的斜率,最后
利用直线AB的斜率的不同表示形式,即可得出直线AB的方程； 〔3〕根据抛物线的定义,有
,
,从而表示出|AF|•|BF|,再由〔2〕得
x1+x2=2x0,x1x2=4y0,x0=y0+2,将它表示成关于y0的二次函数的形式,从而即可求出|AF|•|BF|的最小值． 解
解：〔1〕焦点F〔0,c〕〔c＞0〕到直线l：x﹣y﹣2=0的距离答：
所以抛物线C的方程为x2=4y 〔2〕设
,
,
,所以切线PA,PB的斜率分别为
①PB：
,即
,
②
,
,解得c=1
由〔1〕得抛物线C的方程为所以PA：
联立①②可得点P的坐标为
又因为切线PA的斜率为,整理得
直线AB的斜率所以直线AB的方程为整理得
,即
因为点P〔x0,y0〕为直线l：x﹣y﹣2=0上的点,所以x0﹣y0﹣2=0,即y0=x0﹣2 所以直线AB的方程为〔3〕根据抛物线的定义,有
,
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所以
=
由〔2〕得x1+x2=2x0,x1x2=4y0,x0=y0+2 所以
=
所以当
时,|AF|•|BF|的最小值为
点此题以抛物线为载体,考查抛物线的标准方程,考查利用导数研究曲线的切线方程,考查计算能力,有一定的综合性． 评：
21．〔14分〕〔2021•广东〕设函数f〔x〕=〔x﹣1〕ex﹣kx2〔k∈R〕． 〔1〕当k=1时,求函数f〔x〕的单调区间； 〔2〕当
时,求函数f〔x〕在[0,k]上的最大值M．
考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值． 专题： 压轴题；导数的综合应用．
分析： 〔1〕利用导数的运算法那么即可得出f′〔x〕,令f′〔x〕=0,即可得出实数根,通过列表即可得出其单调区间；
〔2〕利用导数的运算法那么求出f′〔x〕,令f′〔x〕=0得出极值点,列出表格得出单调区间,比拟区间端点与极值即可得到最大值．
解答： 解：〔1〕当k=1时,f〔x〕=〔x﹣1〕ex﹣x2f'〔x〕=ex+〔x﹣1〕ex﹣2x=x〔ex﹣2〕
令f'〔x〕=0,解得x1=0,x2=ln2＞0
所以f'〔x〕,f〔x〕随x的变化情况如下表： x 〔﹣∞,0〕 0 〔0,ln2〕 ln2 〔ln2,+∞〕 f'〔x〕 + 0 ﹣ 0 +
↗ ↘ ↗ f〔x〕 极大值 极小值
所以函数f〔x〕的单调增区间为〔﹣∞,0〕和〔ln2,+∞〕,单调减区间为〔0,ln2〕 〔2〕f〔x〕=〔x﹣1〕ex﹣kx2,x∈[0,k],
．
f'〔x〕=xex﹣2kx=x〔ex﹣2k〕f'〔x〕=0,解得x1=0,x2=ln〔2k〕 令φ〔k〕=k﹣ln〔2k〕,所以φ〔k〕在
,
上是减函数,∴φ〔1〕≤φ〔k〕＜φ
,∴1﹣ln2≤φ〔k〕＜＜k．
即0＜ln〔2k〕＜k
所以f'〔x〕,f〔x〕随x的变化情况如下表： x 〔0,ln〔2k〕〕 ln〔2k〕 〔ln〔2k〕,k〕 f'〔x〕 ﹣ 0 +
↘ ↗ f〔x〕 极小值
f〔0〕=﹣1,f〔k〕=〔k﹣1〕ek﹣k3f〔k〕﹣f〔0〕=〔k﹣1〕ek﹣k3+1=〔k﹣1〕ek﹣〔k3﹣1〕=〔k﹣1〕ek
﹣〔k﹣1〕〔k2+k+1〕=〔k﹣1〕[ek﹣〔k2+k+1〕] 因为对任意的
,所以k﹣1≤0
,y=ex的图象恒在y=k2+k+1下方,所以ek﹣〔k2+k+1〕≤0
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所以f〔k〕﹣f〔0〕≥0,即f〔k〕≥f〔0〕
所以函数f〔x〕在[0,k]上的最大值M=f〔k〕=〔k﹣1〕ek﹣k3.
点评： 熟练掌握导数的运算法那么、利用导数求函数的单调性、极值与最值得方法是解题的关键．
参与本试卷答题和审题的老师有：孙佑中；minqi5；wyz123；gongjy；wubh2021；caoqz；qiss；lincy〔排名不分先后〕 菁优网
2021年5月16日
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